Séries numériques, suites et séries de fonctions (MATH401_MATH)

Volume horaire

Présentation

Présentation du calcul des séries et des bases du calcul intégral

Objectifs

Caractérisation des séries numériques et calcul effectif ou approché de leur somme.

Fondements du calcul intégral au sens de Riemann. Lien entre intégration et dérivation. Généralisation de l'intégration. 

Compétences acquises

• Savoir utiliser des séries et pouvoir calculer, estimer ou encadrer leur somme.
• Maîtriser la notion de processus limite intervenant dans le cadre des séries et de l'intégration.
• Connaître les opérations de dérivation et d'intégration sur les fonctions d’une variable.

Pré-requis

Cours d'analyse du troisième semestre 

Plan du cours

- Séries réelles et complexes. Convergence, critère de Cauchy, convergence absolue, série de terme général positif, théorèmes de comparaison, équivalences des sommes partielles et des restes, règles de Cauchy et de d'Alembert, comparaison série-intégrale, règle de Leibniz, transformation d'Abel.

- Suites de fonctions. Convergences simples et uniforme, convergence uniforme et continuité, théorèmes de Dini, théorème de Stone-Weierstrass polynomial et trigonométrique, convergence uniforme et intégrabilité, convergence uniforme et dérivabilité.

- Séries de fonctions. Convergence absolue et normale, continuité, dérivabilité, intégration.

- Séries entières et de Fourier.

- Séries entières : rayon de convergence, fonctions développables en série entière.

- Série de Fourier : égalité de Parseval, convergence en moyenne quadratique de la série de Fourier pour les fonctions continues, convergence simple de la série de Fourier pour les fonctions C¹ par morceaux (théorème de Dirichlet), convergence uniforme de la série de Fourier pour les fonctions continues et C¹ par morceaux.

TP : 3 TP de deux heures : Convergence de séries numériques, erreur d’arrondie, vitesse de convergence, exemple de convergence de séries de fonctions (uniforme, en moyenne), exemple de convergence de séries de Fourier, phénomène de Gibbs.

Diplômes intégrant ce cours

• Licence Mathématiques (L1, L2, L3)
• Cursus master en ingénierie : mathématiques appliquées : modélisation mathématique simulation numérique