Structures quotients & arithmétique des polynômes et des nombres entiers (MATH402_MATH)

Volume horaire

Présentation

Valeurs propres, vecteurs propres des applications linéaires et réduction des matrices carrées des applications en dimension finie.

Objectifs

Présentation des valeurs et vecteurs propres.

Calcul exact ou approché des éléments propres des matrices carrées.

Compétences acquises

• Savoir réduire les applications linéaires et comprendre la signification formelle des processus de réduction.
• Avoir une meilleure compréhension des liens morphismes-matrice représentatives .
• Savoir mettre en œuvre ces réductions sur ordinateur.

Pré-requis

Enseignements d'algèbre linéaire des deux premières années.

Plan du cours

- Compléments de MATH201 - Cardinalité. Ensembles finis, ensembles dénombrables, théorème de Cantor, puissance du continu.

- Structures algébriques et structures quotient.

- Groupes. Groupes, sous-groupes, morphismes, noyau, ordre d'un élément, groupe monogène, groupe cyclique, quotient d'un groupe commutatif, indice d'un sous-groupe, théorème de Lagrange, fonction d'Euler. Exemples : groupe symétrique S_n (générateurs et groupes alternés A_n) et sous-groupes de (R,+).

- Anneaux. Anneaux, sous-anneaux, morphismes, idéaux, quotient d'un anneau par un idéal, idéaux premiers et maximaux et introduction élémentaire à la structure de corps (corps et morphismes de corps).

- Algèbres. Structure d'algèbre, polynômes en plusieurs indéterminées sur un corps, polynômes symétriques, séries formelles et exemples d'algèbres de fonctions venant de l'analyse.

- Arithmétique des entiers & des polynômes. Quotients de Z, divisibilité, ppcm, pgcd, nombres premiers, polynômes irréductibles, les nombres premiers forment un ensemble infini, énoncé du théorème des nombres premiers (sans preuve), algorithme d'Euclide, théorème de Gauss, théorème de Bézout, théorème chinois, calcul de la fonction d'Euler, petit théorème de Fermat, équations diophantiennes, résultant.

TP : Algorithmes d'Euclide, cribles des nombres premiers. Chiffrement RSA.

Diplômes intégrant ce cours

• Licence Mathématiques (L1, L2, L3)
• Cursus master en ingénierie : mathématiques appliquées : modélisation mathématique simulation numérique