Calcul des probabilités 1 (MATH502_MIASE)

Volume horaire

Présentation

Présentation des premiers outils du calcul des probabilités

Objectifs

Mise en place du cadre théorique de la théorie des probabilités

Présentation et propriétés des principales lois de probabilité

Utilisation des variables aléatoires

Différents types de convergence

Notions sur les chaînes de Markov

Compétences acquises

• Pouvoir modéliser une expérience simple en tenant compte du hasard
• Comprendre et utiliser les différentes notions de convergence des variables aléatoires
• Comprendre les chaînes de Markov

Pré-requis

Enseignement de probabilités discrètes de deuxième année

Plan du cours

Espace probabilisé. Rappel sur les ensembles, notion de tribu, de probabilité. Indépendance, conditionnement, formule de Bayes.

Loi d'une variable aléatoire. Fonction de répartition, variables discrètes, lois utiles (uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson), variables aléatoires absolument continues, notion de densité, lois utiles (uniforme, exponentielle, Cauchy, Laplace, normale). Calcul de loi, variables indépendantes.

Espérance d'une variable aléatoire. Cas des variables discrètes et absolument continues, calcul de loi par la méthode de la fonction muette, propriétés de l'espérance, notion de variance et covariance, indépendance, corrélation. Série génératrice. Fonction caractéristique, cas des variables gaussiennes.

Sommes de variables aléatoires indépendantes. Loi d'une somme de variables aléatoires indépendantes, exemples.

Théorèmes limites. Loi des grands nombres, inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.  Notion de convergence en probabilité, en moyenne quadratique, en loi. Théorème central limite

Couples aléatoires. Loi d'un couple dans le cas de variables discrètes et dans le cas de variables à densité. Calcul de lois images.

Vecteurs gaussiens. Lois gaussiennes. Transformations affines. Indépendance. Théorème central limite multidimensionnel.

Introduction aux chaînes de Markov : Définition. Matrice de transition. Classification des états. Mesure invariante.

Diplômes intégrant ce cours

• Licence Mathématiques et informatique appliquées aux sciences humaines et sociales (L1, L2, L3)