Espaces euclidiens (MATH403_MATH)

Volume horaire

Présentation

Introduction à l'algèbre bilinéaire, l'orthogonalité.

Aplications à la géométrie : orientation, isométries.

Mise en oeuvre sur ordinateur des algorithmes numériques associés.

Objectifs

Savoir utiliser les outils fondamentaux de l'algèbre bilinéaire, l'orthogonalité. Pouvoir les appliquer en géométrie. Comprendre et savoir programmer les méthodes numériques correspondantes.

Compétences acquises

• Comprendre le cadre euclidien et hilbertien d'un point de vue formel.
• Savoir traduire la géométrie élémentaire dans ce cadre (orientation d'un espace, orthogonalité). 
• Savoir utiliser l’orthogonalité pour réduire les applications linéaires.
• Pouvoir mettre en œuvre les algorithmes associés à l'orthogonalité sur ordinateur.

Pré-requis

Enseignements d'algèbre linéaire des deux premières années, particulièrement celui sur la réduction des endomorphismes.

Plan du cours

- Formes bilinéaires et quadratiques. Forme bilinéaire, forme positive et définie positive, matrice représentative d'une forme bilinéaire, changement de bases, réduction (méthode de Gauss), théorème d'inertie de Sylvester, signature.

- Produit scalaire et orthogonalité. Espaces préhilbertiens, euclidiens et hermitiens, théorème de Pythagore, inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, norme euclidienne, identité du parallélogramme comme caractérisation des normes issues d'un produit scalaire, familles orthogonales et orthonormées, bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, complétion d'une famille orthonormée en une base orthonormée, orthogonal d'un sous espace, supplémentaire orthogonal, équation d'un hyperplan, projection orthogonale, distance à un sous-espace.

- Orientation. Orientation d'un espace vectoriel, bases orthonormées directes, orientation des hyperplans.

- Isométries vectorielles. Automorphismes orthogonaux et unitaires, matrices orthogonales et unitaires, groupe orthogonal et unitaire, les isométries qui fixent l'origine sont linéaires, groupe des isométries du plan : translation, rotations et symétries. Mesures d'angles orientés. Adjoint d'un endomorphisme, endomorphisme symétrique, orthogonal, normal, réduction orthogonale des endomorphismes symétriques réels, réduction unitaire des endomorphismes normaux complexes, réduction orthogonale des endomorphismes normaux réels : application à la réduction des isométries linéaires en toutes dimensions et notamment dans R³.

-Introduction à la structure euclidienne affine.

Diplômes intégrant ce cours

• Licence Mathématiques (L1, L2, L3)
• Cursus master en ingénierie : mathématiques appliquées : modélisation mathématique simulation numérique